Представление числовой информации с помощью систем счисления (10 класс)

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит системы счисления состоит из знаков, которые называются цифрами.

Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью знаков некоторого алфавита, называемых цифрами

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные. В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных — не зависит.

Непозиционные системы счисления. Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить римская система счисления, которая начала применяться более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, Х (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 используются латинские буквы С, D и М соответственно.

В римской системе счисления значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в римском числе ХХХ (30) цифра Х встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину — число 10, три раза по 10 в сумме дают 30.

Позиционные системы счисления. Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит цифр и основание. Основание системы равно количеству цифр (знаков) в ее алфавите.

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряды числа возрастают справа налево, от младших разрядов к старшим. основание показывает, во сколько раз меняется значение цифры при ее перемещении в соседний разряд.

В настоящее время наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная и двоичная. Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти всем известных, так называемых арабских, цифр {0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9}, а двоичная -две цифры {0,1}.

Двоичная и десятичная системы счисления

Десятичная система счисления. В десятичной системе счисления крайняя справа позиция соответствует минимальному значению, в которой цифра обозначает единицы, цифра, смещенная на одну позицию влево, обозначает десятки, еще левее- сотни, затем тысячи и т. д. Рассмотрим в качестве примера десятичное число 777. Цифра 7 встречается в числе трижды, причем самая правая обозначает семь единиц, вторая справа — семь десятков и, наконец, третья — семь сотен.

Выше десятичное число 777 было записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10, которое является основанием десятичной системы счисления.

В развернутой форме записи числа умножение цифр числа на основание производится в явной форме. Так, в развернутой форме запись числа 777 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом:

77710 = 7•102 + 7•101 + 7•100

Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. Например, число 777,77 в развернутой форме будет записано следующим образом:

777,7710 = 7•102 + 7•101 + 7•100 + 7•10-1 + 7•10-2

Число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания, в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

Умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд вправо или влево. Например:

777,7710 • 10 = 7777,710
777,77510 : 10 = 77,77710

Двоичная система счисления. Числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры О или 1.

Например, развернутая запись двоичного числа выглядит следующим образом:

А2 = 1•22 + 0•21 + 1•20 + 0•2-1 + 1•2-2,

а свернутой форме:

А2 = 101,012.

Умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) происходит аналогично десятичной системе счисления.

Контрольные вопросы:

  1. Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных?
  2. Каково основание десятичной системы счисления? Двоичной системы счисления? Восьмеричной системы счисления? Шестнадцатеричной системы счисления?
  3. Какие цифры входят в алфавит десятичной системы счисления? Двоичной системы счисления? Восьмеричной системы счисления? Шестнадцатеричной системы счисления?
  4. На какую величину в позиционных системах счисления различаются цифры соседних разрядов числа?

Содержание