Представление числовой информации с помощью систем счисления (9 класс)

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит системы счисления состоит из знаков, которые называются цифрами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы . В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных — не зависит.

Непозиционные системы счисления. Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков: зарубок, черточек, точек.

Такая система записи чисел называется единичной, так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст или используя для этого счетные палочки.

Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить римская система счисления, которая начала применяться более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.

В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, Х (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 используются латинские буквы С, D и М соответственно.

В римской системе счисления значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в римском числе ХХХ (30) цифра Х встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину — число 10, три раза по 10 в сумме дают 30.

Позиционные системы счисления. Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит цифр и основание. Основание системы равно количеству цифр (знаков) в ее алфавите.

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряды числа возрастают справа налево, от младших разрядов к старшим, причем значения цифр в соседних разрядах числа различаются в количество раз, равное основанию системы.

В настоящее время наиболее распространенной позиционной системой счисления является десятичная система. В информатике широко используются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Десятичная система счисления. В десятичной системе счисления крайняя справа позиция соответствует минимальному значению, в которой цифра обозначает единицы, цифра, смещенная на одну позицию влево, обозначает десятки, еще левее- сотни, затем тысячи и т. д. Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается в числе трижды, причем самая правая обозначает пять единиц, вторая справа — пять десятков и, наконец, третья — пять сотен.

Выше десятичное число 555 было записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10, которое является основанием десятичной системы счисления.

В развернутой форме записи числа умножение цифр числа на основание производится в явной форме. Так, в развернутой форме запись числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом:

555₁₀ = 5•10² + 5•10¹ + 5•10⁰

Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме будет записано следующим образом:

555,55₁₀ = 5•10² + 5•10¹ + 5•10⁰ + 5•10^-1 + 5•10^-2

Умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд вправо или влево. Например:

555,55₁₀ • 10 = 5555,5₁₀
555,55₁₀ : 10 = 55,555₁₀

Двоичная система счисления. Числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры О или 1.

Например, развернутая запись двоичного числа выглядит следующим образом:

А₂ = 1•2² + 0•2¹ + 1•2⁰ + 0•2^-1 + 1•2^-2,

а свернутой форме:

А₂ = 101,01₂.

Умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) происходит аналогично десятичной системе счисления.

Восьмеричная система счисления. В восьмеричной системе основание равно 8 и алфавит состоит из восьми цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Запишем восьмеричное число в свернутой и развернутой форме:

76₈ = 7•8¹ + 7•8⁰.

Шестнадцатеричная система счисления. В шестнадцатеричной системе основание равно 16 и алфавит состоит из шестнадцати цифр {О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F}, причем первые десять цифр имеют общепринятое обозначение, а для записи остальных цифр {10, 11, 12, 13, 14, 15} используются первые шесть букв латинского алфавита. Запишем шестнадцатеричное число в свернутой и развернутой формах:

AВCDEF₁₆ = A•16⁵ + B•16⁴ + C•16³ + D•16² + E•16¹ + F•16⁰.

Сравнительная таблица позиционных систем счисления показана ниже:

Контрольные вопросы:

1. Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных?
2. Каково основание десятичной системы счисления? Двоичной системы счисления? Восьмеричной системы счисления? Шестнадцатеричной системы счисления?
3. Какие цифры входят в алфавит десятичной системы счисления? Двоичной системы счисления? Восьмеричной системы счисления? Шестнадцатеричной системы счисления?
4. Во сколько раз в позиционных системах счисления различаются цифры соседних разрядов числа?
5. Может ли в качестве цифры в системе счисления использоваться символ буквы?

Задания:

1. Записать числа 3,14₁₀ и 10,1₂ в развернутой форме.
2. Во сколько раз увеличатся числа 10,1₁₀ и 10,1₂ при переносе запятой на один знак вправо?
3. При переносе запятой на два знака вправо число 11,11_x увеличилось в 4 раза. Чему равно основание x системы счисления?
4. Какое минимальное основание может иметь система счисления, если в вей записано число 11? Число 99?
5. Записать год, месяц и число своего рождения в римской системе счисления.

Содержание