Арифметические операции в позиционных системах счисления (9 класс)

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.

Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда число в нем становится равным или большим основания системы счисления. Для двоичной системы счисления это число равно двум.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим двоичные числа 110₂ и 11₂:

Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Для этого переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим:
110₂ = 1 • 22 + 1 • 21 + 0 • 20 = 6₁₀
11₂ = 1 • 21 + 1 • 20 = 3₁₀
6₁₀ + 3₁₀ = 9₁₀

Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число:
1001₂ = 1 • 23 + 0 • 22 + 0 • 21 + 1 • 20 = 9₁₀
Сравним результаты — сложение выполнено правильно.

Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:

Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов. В качестве примера произведем вычитание двоичных чисел 110₂ и 11₂:

Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на цифры множителя. В качестве примера произведем умножение двоичных чисел 110₂ и 11₂:

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведем деление двоичного числа 110₂ и 11₂:

Для проведения арифметических операций над числами, выраженными в различных системах счисления, необходимо предварительно перевести их в одну и ту же систему.

Задания:

1. Провести сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел 1010₂ и 10₂.

Содержание